研究巴拿赫空间之前，我们有必要完全弄清楚巴拿赫空间、希尔伯特内积空间、赋范线性空间这三者之间的区别和联系。
赋范线性空间是距离空间，希尔伯特内积空间必然是赋范线性空间，巴拿赫空间是完备的赋范线性空间。这是三者间的基本关系。
作为资深专家，具备大师水平的数学研究者，穆勒和沈同样需要依托最基础的理论去证明体系内的定理。
内积空间的内积可以定义范数，而范数不一定非要内积来定义。希尔伯特空间是巴拿赫空间的特例，而巴拿赫空间是完备距离空间的特例。
所以，沈基于穆勒在1982年的一条证明重新定义如下：
“巴拿赫空间x的一个非空子集c称为逼近紧的，是指对任意{xn}∞n=1∈c及任意y∈x，如果使得
‖xn-y‖→dist（y，f{‖xn-y‖：x∈c}，
那么{xn}∞n=1存在一个柯西列，称x是逼近紧的，且x的每个闭凸子集是逼近紧。”
“思路逐渐清晰，沈你认为一个巴拿赫空间x是逼近紧的当且仅当它具备drop性质。”穆勒教授再次检查沈设定的前提条件。
巴拿赫空间综合了泛函分析、拓扑、