在已发表的论，沈使用了pn-a，完成了沃什猜想的证明。 !
假设（x，y）是方程（t+1）x4-ty2=1的一个解，满足y＞1，（x，y）为对应的伴随解，n=√x2+y2t，则对于某个满足t0∣t以及t02≤t的正整数t0，有p（x，y）=t02。
这是证明沃什猜想的核心步骤，定义r0为满足（e2.37ε2/8）1-r0≤∣fq∣≤（e2.37ε2/8）-r0的正整数，沈在论使用了pn-a。
在pn-a，沈令r0=1，±b1q≠a1p以及2∣fq∣（e2.37ε2/8）＜1。
他得到了△=k（±b1q-pa1）≠0，从而最终证明方程（t+1）x4-ty2=1不存在两组正整数解（xi，yi）（i=1，2），y2＞y1＞1满足∣±√-1（xi-yi√-t）/（xi+yi√-t）-x1/4∣＜1/8。
所以，沃什先生在37年前提出的猜测是正确的。
这个猜测被一位21岁的国留学生证明。
沈因此获得了一些荣誉和奖项，在国数学界及美国数学界崭露头角。
而吴老刚刚写下的一堆数学符号，代表了pn-b